2.4反函数(三课时)

教学目的:1.掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数          2.互为反函数的图象间的关系.           3.反函数性质的应用.教学重点:反函数的定义和求法,互为反函数的图象间的关系.教学难点:反函数的定义,反函数性质的应用.教学过程:

第一课时教学目的:1.掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数          2.互为反函数的图象间的关系. 教学重点:反函数的定义和求法,互为反函数的图象间的关系.教学难点:反函数的定义和求法。教学过程:一、复习引入:由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是时间t的函数;可以变形为: ,这时,位移s是自变量,时间t是位移s的函数.又如,在函数 中,x是自变量,y是x的函数. 由 中解出x,得到式子 . 这样,对于y在r中任何一个值,通过式子 ,x在r中都有唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函数:y为自变量,x为y的函数,定义域是y r,值域是x r.上述两例中,由函数s=vt得出了函数 ;由函数 得出了函数 ,不难看出,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在着必然的联系:①它们的对应法则是互逆的;②它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者的定义域,而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课:反函数的定义设函数 的值域是c,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y). 若对于y在c中的任何一个值,通过x= (y),x在a中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x= (y) (y c)叫做函数 的反函数,记作 ,习惯上改写成 开始的两个例子:s=vt记为 ,则它的反函数就可以写为 ,同样 记为 ,则它的反函数为: .从映射的角度看,若确定函数y=f(x)的映射是定义域a到值域c的一一映射,则它的逆映射f -1:  (x=f -1(y)) c→a 确定的函数x=f -1(y)(习惯上记为y=f -1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数.即,函数 是定义域a到值域c的映射,而它的反函数 是集合c到集合a的映射,由此可知:1.      只有“一一映射”确定的函数才有反函数.如 (x∊r)没有反函数,而 , 有反函数是 2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数 的定义域正好是它的反函数 的值域;函数 的值域正好是它的反函数 的定义域.且 (如下表):

函数

反函数 定义域

a

c值 域

c

a3. 函数 与 互为反函数。即若函数 有反函数 ,那么函数 的反函数就是 . 三、例题:例1.求下列函数的反函数:① ;           ② ;③ ;           ④ .小结:⑴求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到。⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数,即判断映射是否是一一映射。例2.求函数 ( )的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图像。

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